Μαθηματικά ΙΙ
Κλεΐδης Κωνσταντίνος
Σχολή - Τμήμα: Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΤΕ » Προπτυχιακό
Πρόσβαση στο μάθημα: Ελεύθερη (χωρίς εγγραφή)
Χρήστες: 5 εγγεγραμμένοι
CC - Αναφορά - Παρόμοια Διανομή
Περιγραφή
Η επίλυση πολύπλοκων προβλημάτων μηχανολογικού ενδιαφέροντος, όπως αυτά που αναμένεται πως θα επηρεάσουν τις τεχνολογικές εξελίξεις στο μέλλον, είναι μια διαδικασία που απαιτεί προσεκτικό σχεδιασμό, ακρίβεια στη λογική, επιμονή στη λεπτομέρεια, με λίγα λόγια επιστημονική αντιμετώπιση και, επομένως, δε μπορεί να επιτευχθεί μόνο με φραστικό συλλογισμό.
Τα Μαθηματικά συνιστούν το βασικό μέσο «κωδικοποίησης» των διαφόρων προβλημάτων που καλούνται να επιλύσουν οι σύγχρονοι Μηχανολόγοι Μηχανικοί και, γι’ αυτό, αποτελούν ένα ισχυρό «εργαλείο» στα χέρια τους.
Απ’ την άλλη μεριά, η αλματώδης εξέλιξη της τεχνολογίας - και η εξειδίκευση στην αγορά εργασίας που αυτή συνεπάγεται – καθιστά επιτακτική τη διαρκή εξέλιξη, η οποία μπορεί να επιτευχθεί, κυρίως, μέσω των Προγραμμάτων Μεταπτυχιακών Σπουδών (ΠΜΣ). Για το λόγο αυτό, ο αυριανός Πτυχιούχος του Τμήματος Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε. θα πρέπει, εκτός των άλλων, να κατέχει και ένα «συμπαγές» μαθηματικό υπόβαθρο, το οποίο είναι απαραίτητο στα περισσότερα σύγχρονα ΠΜΣ.
Μια πρώτη προσέγγιση στο εν λόγω υπόβαθρο έγινε με τα Μαθηματικά Ι. Πλέον, το «ταξίδι» των Σπουδαστών του Τμήματος Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε. στoν κόσμο της λογικής και των αριθμών συνεχίζεται, με τη μελέτη πιο εκλεπτυσμένων εννοιών όπως αυτές που περιλαμβάνονται στο Λογισμό Συναρτήσεων Πολλών Μεταβλητών και στις Διαφορικές Εξισώσεις (Μαθηματικά ΙΙ).
Λέξεις Κλειδιά: Συναρτήσεις δύο μεταβλητών, Επιφάνειες στο χώρο, Τόπος ορισμού, Μερικές παράγωγοι πρώτης τάξης, Μερικές παράγωγοι δεύτερης τάξης, Μικτή παράγωγος, Ολικό διαφορικό, Κυματική εξίσωση, Αρμονικές συναρτήσεις, Μέγιστα, Ελάχιστα και Σαγματικά σημεία συναρτήσεων δύο μεταβλητών, Διπλά ολοκληρώματα σε Καρτεσιανές και Πολικές συντεταγμένες, Τόπος ολοκλήρωσης, Διαφορικές εξισώσεις πρώτης και δεύτερης τάξης, Γενική και μερική λύση διαφορικής εξίσωσης, Αρχικές συνθήκες, Μέθοδοι επίλυσης, Είδη διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης, Άμεσα ολοκληρώσιμες διαφορικές εξισώσεις, Διαφορικές εξισώσεις χωριζόμενων μεταβλητών, Διαφορικές εξισώσεις αναγόμενες σε χωριζόμενων μεταβλητών, Ομογενείς διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης, Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης, Διαφορική εξίσωση του Bernoulli, Πλήρεις διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης, Ολοκληρωτικός παράγοντας, Νόμος θέρμανσης ή/και ψύξης του Newton, Νόμος Fourier μετάδοσης θερμότητας με αγωγή, Προβλήματα εξέλιξης πληθυσμών, Κίνηση στο πεδίο βαρύτητας της Γης με ή χωρίς την αντίσταση του αέρα, Διεργασία διάσπασης των πυρήνων ενός ραδιενεργού στοιχείου, Φόρτιση ή/και εκφόρτιση πυκνωτή, Γραμμική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές, Λύση ομογενούς, Χαρακτηριστικό πολυώνυμο, Μερική λύση πλήρους διαφορικής εξίσωσης δεύτερης τάξης, Οδηγός δύναμη
Θεματικές Ενότητες
Να γνωρίσουν οι φοιτητές όλα όσα αφορούν στις συναρτήσεις δύο μεταβλητών, τη γεωμετρική ερμηνεία τους και τον τόπο ορισμού τους.
Να γνωρίσουν οι φοιτητές όλα όσα αφορούν στις μερικές παραγώγους πρώτης και δεύτερης τάξης, καθώς επίσης και στον αναλυτικό υπολογισμό τους, μέσω πλήθους παραδειγμάτων.
Πλήθος παραδειγμάτων υπολογισμού μερικών παραγώγων πρώτης και δεύτερης τάξης με αναλυτικό τρόπο – Εφαρμογές των μερικών παραγώγων: Ολικό διαφορικό συνάρτησης δύο μεταβλητών.
Πλήθος παραδειγμάτων υπολογισμού του ολικού διαφορικού συναρτήσεων δύο μεταβλητών – Εξισώσεις με μερικές παραγώγους – Αρμονικές συναρτήσεις
Να γνωρίσουν οι φοιτητές όλα όσα αφορούν στα μέγιστα, τα ελάχιστα και τα σαγματικά σημεία των συναρτήσεων δύο μεταβλητών, καθώς επίσης και στον αναλυτικό τρόπο υπολογισμού τους, μέσω πλήθους παραδειγμάτων.
Παραδείγματα εύρεσης κρίσιμων σημείων συναρτήσεων δύο μεταβλητών και χαρακτηρισμού ως προς το είδος τους (μέγιστα, ελάχιστα και σαγματικά σημεία).
Ο σκοπός της συγκεκριμένης ενότητας είναι να υπενθυμίσει στους φοιτητές όλες τις βασικές έννοιες που αφορούν στα αόριστα ολοκληρώματα, τις δύο κύριες μεθόδους ολοκλήρωσης, με αντικατάσταση και κατά παράγοντες, καθώς επίσης και τις βασικές έννοιες που αφορούν στα ορισμένα ολοκληρώματα, όπως, π.χ., ο υπολογισμός του εμβαδού επίπεδου χωρίου, κ.ά..
Η γνωριμία των φοιτητών με τις βασικές έννοιες που αφορούν στα διπλά ολοκληρώματα, τον τόπο ολοκλήρωσης και τις μεθόδους υπολογισμού τους.
Γνωριμία με τις βασικές έννοιες που αφορούν στα διπλά ολοκληρώματα, τον τόπο ολοκλήρωσης και τις μεθόδους υπολογισμού τους σε καρτεσιανές συντεταγμένες.
Γνωριμία με τις βασικές έννοιες που αφορούν στα διπλά ολοκληρώματα, τον τόπο ολοκλήρωσης και τις μεθόδους υπολογισμού τους σε πολικές συντεταγμένες.
Η παρουσίαση πλήθους παραδειγμάτων υπολογισμού διπλών ολοκληρωμάτων σε πολικές συντεταγμένες με αναλυτικό τρόπο.
Γνωριμία με όλες τις βασικές έννοιες που αφορούν στις διαφορικές εξισώσεις πρώτης και δεύτερης τάξης – Γενική και μερική λύση – Αυθαίρετες σταθερές και αρχικές συνθήκες – Είδη διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης και μέθοδοι επίλυσης – Άμεσα ολοκληρώσιμες διαφορικές εξισώσεις – Διαφορικές εξισώσεις χωριζόμενων μεταβλητών και αναγόμενες σε αυτές.
Η συγκεκριμένη ενότητα αφορά στη διδασκαλία των μεθόδων επίλυσης ομογενών και γραμμικών διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης.
Η συγκεκριμένη ενότητα αφορά στη διδασκαλία των μεθόδων επίλυσης της διαφορικής εξίσωσης του Bernoulli, καθώς επίσης και των πλήρων διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης με τη μέθοδο του ολικού διαφορικού ή/και του ολοκληρωτικού παράγοντα.
Η κατάστρωση (και επίλυση) της διαφορικής εξίσωσης σε πραγματικά προβλήματα φυσικού και μηχανολογικού ενδιαφέροντος, όπως, π.χ., ο νόμος θέρμανσης ή/και ψύξης του Newton, ο νόμος του Fourier για τη μετάδοση της θερμότητας με αγωγή, τα προβλήματα εξέλιξης πληθυσμών, η κίνηση στο πεδίο βαρύτητας της Γης με ή χωρίς την αντίσταση του αέρα, η διεργασία της διάσπασης των πυρήνων ενός ραδιενεργού στοιχείου, η φόρτιση ή/και εκφόρτιση πυκνωτή, κ.ά..
Η συγκεκριμένη ενότητα αφορά στη διδασκαλία των μεθόδων επίλυσης των γραμμικών διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές, επικεντρώνοντας στην επίλυση της ομογενούς διαφορικής εξίσωσης δεύτερης τάξης με τη μέθοδο του χαρακτηριστικού πολυωνύμου.
Η συγκεκριμένη ενότητα αφορά στις μεθόδους εύρεσης μερικής λύσης της πλήρους διαφορικής εξίσωσης δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές, ανάλογα με τη μορφή της οδηγού δύναμης – της συνάρτησης του x στο δεξιό μέλος.
Η αναλυτική παρουσίαση πλήθους παραδειγμάτων επίλυσης πλήρων γραμμικών διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές.
Ανοικτό Ακαδ. Μάθημα
Ημερολόγιο
Ανακοινώσεις
- - Δεν υπάρχουν ανακοινώσεις -
